什么是正交矩阵?

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恽海聊生活
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2023-01-02 · 关注我不会让你失望
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正交矩阵是方块矩阵,行向量和列向量皆为正交的单位向量。

如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是属于正规矩阵。

尽管在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。

正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵(即该正交矩阵中所有元都是实数)可以看做是一种特殊的酉矩阵,但也存在一种复正交矩阵,这种复正交矩阵不是酉矩阵。

正交矩阵定义:

如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.)或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为单位正交阵,则满足以下条件:1)A是正交矩阵。

判断是正交矩阵的方法:

一般就是用定义来验证,若AA' = I,则A为正交矩阵,也就是验证每一行(或列)向量的模是否为1
任意两行(或列)的内积是否为0。

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