Question

1+1/√2+1/√3+……1/√n＜2√n 即：1+根号2 分之一+根号3 分之一+……根号n 分之一的和小于2倍根号n

Answer 1

如图

Answer 2

当N=1时
1<2根号1 成立
设1+1/根号2+1/根号3+------+1/根号n=X<2根号n 成立
则X+1/根号(N+1)<2根号N+1/根号(N+1)
2根号(N+1)-2根号N-1/根号(N+1)>0
即X+1/根号(N+1)<2根号N+1/根号(N+1)<2根号(N+1) 成立
所以1+1/根号2+1/根号3+------+1/根号n小于2根号n

或者
1/根号k=2/根号k+根号k<2/根号k+根号(k-1).
把2/根号k+根号(k-1)分母有理化，
就得到1/根号k<2[-根号（k-1）+根号k]，
然后原式左边就小于2（0+1-1+根号2-根号2+根号3……-根号（n-1)+根号n=2根号n，得证。

Answer 3

因为
1/根号n=2/(2根号n)<2/(根号n+根号(n-1))=2(根号n-根号(n-1))，
所以
1+1/根号2+1/根号3+……1/根号n
< 2(1-0)+2(根号2-1)+……+2(根号n-根号(n-1))
= 2根号n .