Question

18.设f(x)=∫(x^2)-0，(t-1)e^(-x)^2dt，求f(x)的极值,并判断是极大值还是极小值.

Answer 1

问：18.设f(x)=∫(x^2)-0，(t-1)e^(-x)^2dt，求f(x)的极值,并判断是极大值还是极小值.

答：根据函数极值的判定定理， 先求一阶导数：$f'(x) = 2x e^{-x^2} - e^{-x^2}$ 令$f'(x)=0$，得到极值点的$x$值： $2x e^{-x^2} - e^{-x^2} = 0$ $e^{-x^2} (2x-1) = 0$ 解得$x=\frac{1}{2}$，因为当$x>0$时，$e^{-x^2}>0$，所以$2x-1=0$，$x=\frac{1}{2}$。 再求二阶导数：$f''(x) = 2e^{-x^2} - 4xe^{-x^2}$ 当$x=\frac{1}{2}$时，有 $f''(\frac{1}{2}) = 2e^{-\frac{1}{4}} - e^{-\frac{1}{4}} = e^{-\frac{1}{4}}>0$ 即$f(x)$在$x=\frac{1}{2}$处取得极小值。 综上所述，$f(x)$的极小值为 $f(\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{4}} (t-1)e^{-\frac{1}{4}} dt = 1 - \frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}}$

问：不应该是x的四次方吗

答：非常抱歉，由于原问题中有一些符号没有被正确识别，导致回答出错。如果问题中的"（x^2）"是指积分的上限，那么f(x)的表达式应该为：f(x) = ∫(x^2)-0，(t-1)e^(-t^2)dt接下来进行求解。根据函数极值的判定定理，先求一阶导数：f'(x) = 2x e^(-x^2) - xe^(-x^2) = xe^(-x^2)令f'(x)=0，得到极值点的x值：xe^(-x^2) = 0解得x=0。再求二阶导数：f''(x) = e^(-x^2) - 2x^2e^(-x^2)当x=0时，有f''(0) = 1>0，即f(x)在x=0处取得极小值。综上所述，f(x)的极小值为f(0) = ∫(0^2)-0，(t-1)e^(-t^2)dt = 1/2。所以f(x)的极值是极小值，极小值为1/2。

问：带上限进去是x^2呀。t换x^2不应该是t^4吗

问：x^4次

答：非常抱歉，我的回答有误。正确的解法如下：$$f(x) = \int_{0}^{x^2} (t-1) e^{-(x^2)^2} \mathrm{d}t = \int_{0}^{x^4} (t-1) e^{-t^2} \mathrm{d}t$$首先，根据函数的极值必要条件，求导：$$f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{x^4} (t-1) e^{-t^2} \mathrm{d}t = 4x^3 (x^4 - 1) e^{-x^8}$$令$f'(x) = 0$，则有$x^3 (x^4 - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$。然后，对$f''(x)$求导，得到：$$f''(x) = 12x^2 (x^4 - 1) e^{-x^8} - 32x^6 (x^4 - 1)^2 e^{-2x^8}$$计算可得，$f''(0) = -12<0$，$f''(1) = -12e^{-8}<0$。因此，$f(x)$在$x=0$和$x=1$处取得极大值。综上所述，$f(x)$的极值为$f(0) = 0$和$f(1) = \int_{0}^{1} (t-1) e^{-t^2} \mathrm{d}t \approx -0.2408$，都是极大值。

问：啥玩意啊这是

答：非常抱歉，我的回答有误。正确的解法如下：$$f(x) = \int_{0}^{x^2} (t-1) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t$$首先，根据函数的极值必要条件，求导：$$f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{0}^{x^2} (t-1) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t = 2x \int_{0}^{x^2} (x^2 - t) (t-1) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t$$令$f'(x) = 0$，则有$x = 0$或$\int_{0}^{x^2} (x^2 - t) (t-1) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t = 0$。令$g(x) = \int_{0}^{x^2} (x^2 - t) (t-1) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t$，则有：$$g'(x) = 2x \int_{0}^{x^2} (t-x^2) (t-1) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t = 2x (1 - x^4) \int_{0}^{1} u (1-u) e^{-u^2} \mathrm{d}u$$其中，令$u = (t-x^2)/\sqrt{2}$，化为标准正态分布的积分形式。当$x=0$时，$f'(x) = 0$。当$x \neq 0$时，$f'(x) = 0$时，必有$g'(x) = 0$，即$x = 1/\sqrt[4]{2}$或$x=-1/\sqrt[4]{2}$。然后，对$f''(x)$求导，得到：$$\begin{aligned}f''(x) &= 2 \int_{0}^{x^2} \left(1 - 2(x^2 - t)^2\right) (t-1) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t + 4x^2 \int_{0}^{x^2} (x^2 - t) (t-1) (x^2 - 2t) e^{-(x^2-t)^2} \mathrm{d}t \\&= 2 \int_{0}^{x^2} (1-2t^2) (t-1) e^{-t^2} \mathrm{d}t + 4x^2 \int_{0}^{x^2} (2t^2 -3x^2t+x^