Question

已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ))(ω>0,0<φ<π/4),函数f(x)=(a+b)(a-b),

y=f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点M（1，7/2）
（Ⅰ）求f(x)的表达式；

Answer 1

a+b=(1+sin(ωx+φ),2+cos(ωx+φ))
a-b=(sin(ωx+φ)-1,2-cos(ωx+φ))
f(x)=(a+b)(a-b)={[sin(ωx+φ)]^2}-1+4-cos(ωx+φ)]^2
=3-cos2(ωx+φ)
由三角函数图像知，过最高点和过最低点的垂直X轴的直线都是函数对称轴
所以相邻对称轴之间的距离是半个周期
即T／2＝2即T＝4
而由上面函数式以及ω>0知，周期T＝（2π）/（2ω）＝π/ω
所以ω＝π/4
又f(x）过点（1，7/2）
即当x=1时，f(x)=3-cos2(ωx+φ)=3-cos[(π/2)+2φ]
=3+sin(2φ)=7/2
所以sin(2φ)=1／2
又0<φ<π/4即0<2φ<π/2
所以2φ＝π/6
即φ＝π/12

综上得f(x)＝3-cos2(πx/4 + π/12)