Question

大一高数，求定积分

Answer 1

　　解：(1)题，原式=(1/2)∫(0,1/2)√(1-x^2)dx^2=-(1/3)√(1-x^2)丨(x=0,1/2)=1/3-√3/8。
　　(5)题，∵(sinx)^2=(1-cos2x)/2，∴原式=(1/2)∫(0,π)(1-cos2x)x^2dx。
　　而∫(1-cos2x)x^2dx=(1/3)x^3-(1/2)(sin2x)x^2+∫xsin2xdx=(1/3)x^3-(1/2)(sin2x)x^2-（x/2)cos2x+(1/4)sin2x+c，
　　∴原式=(π^3)/6-π/4。
　　(6)题，∵2x-x^2=1-(1-x)^2，设t=1-x，∴原式=∫(0,1)√(1-t^2)dt。根据定积分的几何意义，该式表示的是半径为1的圆的面积的1/4，∴原式=π/4。
　　供参考。