Question

高数。第三题怎么做。

Answer 1

这个其实是在证明柯西中值定理。
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

证明
可构造辅助函数G(x)=[F(b)-F(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]F(x);
G(a)=[F(b)-F(a)]f(a)-[f(b)-f(a)]F(a)
=F(b)f(a)-F(a)f(a)-F(a)f(b)+F(a)f(a)
=F(b)f(a)-F(a)f(b)
G(b)=[F(b)-F(a)]f(b)-[f(b)-f(a)]F(b)
=F(b)f(b)-F(a)f(b)-F(b)f(b)+F(b)f(a)
=F(b)f(a)-F(a)f(b)
有G(a)=G(b);由罗尔定理，有

存在ξ∈(a,b),使得G'(ξ)=0,即

[F(b)-F(a)]f'(x)-[f(b)-f(a)]F'(x)=0
又因为F'(x)≠0
所以
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

追问

你可以去做数学老师了。真的😥

有空另外两道也看看😊