Question

定积分，体积怎么求？可以画图手写解答吗

Answer 1

解：(1)设A的横坐标为a，那么切点A的坐标为(a,a^2)
求导，y'=(x^2)'=2x
设切线方程为y=kx+b
∴k=2a，x=a，y=a^2
a^2=2a^2+b
b=a^2-2a^2
b=-a^2
∴切线方程为y=2ax-a^2
使y=0，解得x=a/2
过A点向x轴作垂线，交x轴于(a,0)，∴垂线方程为x=a
记y=x^2，x=a，x轴围成的图形面积为S1
那么S1=∫[0,a]x^2dx
=x^3/3|[0,a]
=a^3/3
记y=2ax-a^2，x=a，x轴围成的直角三角形面积为S2

那么S2=(a-a/2)*a^2/2=a/2*a^2/2=a^3/4
记y=x^2，y=2ax-a^2，x轴围成的图形面积为S
那么S=S1-S2=a^3/12
根据已知得a^3/12=2/3
解得a=2
∴A(2,4)，y=4x-4
根据对称性，也可能是A(-2,4)，y=-4x-4
(2)S1旋转后，设有一个垂直于x轴于P(p,0)的平面与S1构成的旋转体相交。
那么交线为圆，半径r=p^2，面积S=πr^2=πp^4
假如S1的旋转体体积为V1，有：
V1=∫[0,2]πp^4dp
=πp^5/5|[0,2]
=32π/5
假设S2的旋转体体积为V2，那么旋转体为圆锥，有：
V2=πr^2h/3
=2^4*1*π/3
=16π/3
整体所围成旋转体的体积为V，那么：
V=V1-V2
=32π/5-16π/3
=96π/15-80π/15
=16π/15