Question

已知abc均为正数,且a+b+c=1,求证4<根号下3a+1+根号下3b+1+根号下3c+1《3根号下2

Answer 1

∵a、b、c均为正数,且a+b+c=1,∴0<a,b<c<1.
从而a-a²=(1-a)a>0 ∴a>a² 同理b>b²， c>c²
√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)= √(2a+a+1)+√(2b+b+1)+√(2c+c+1)
> √(a²+2a+1)+√(b²+2b+1)+√(c²+2c+1)
=a+1+b+1+c+1=4;
另一方面，√(3a+1)•√2+√(3b+1)•√2+√(3c+1) •√2
≤((3a+1)+2)/2+((3b+1)+2)/2+((3c+1)+2)/2………此处运用基本不等式√(xy)≤(x+y)/2
=(3a+3b+3c+9)/2=6
∴√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) ≤3√2
综上知，4<√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) ≤3√2.