Question

请教数学题~~~请各位高手帮忙

已知an=5n(n+1)(n+2)(n+3),求数列{an}的前n项和Sn

要详细过程~~~
谢谢~~~

Answer 1

【方法1：强行展开a(n)表达式】
1+2+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4
1^4+2^4+……+n^4=n(15n^3+10n^2-1)/30,
然后再代入a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3)的展开式中，a(n)展开后是：a(n)=5(n^4+6n^3+11n^2+6n)，再代入运算。

【方法2：配项法】
因为an=(1/5)[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]
令n=1,2,……,n得
a1=(1/5)(1*2*3*4*5)
a2=(1/5)(2*3*4*5*6-1*2*3*4*5)
a3=(1/5)(3*4*5*6*7-2*3*4*5*6)
……
an=(1/5)[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]
上面n个式子相加得
Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5

【方法3：组合数运算】
看到n(n+1)(n+2)(n+3)就想起是阶乘的一部分。
a(n)/4!=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!
=组合数(n+3,4)
=(n+4,5)-(n+3,5)
=s(n)/4!-s(n-1)/4!
故s(n)=(n+4,5)*4!
=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5

【方法4：裂项法】
a(n)-a(n-1)=4n(n+1)(n+2)
a(n-1)-a(n-2)=4(n-1)n(n-2)
…………
…………
…………
a2-a1=4*2*3*4
a1 =4*3*2*1
叠加得
a(n)=4n(n+1)(n+2)
由此可设b(n)=5n(n+1)(n+2)(n+3)
同理：Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)/5