Question

判断积分∫∫开三次根下的（1-x^2-y^2）dxdy的正负号

不是很理解步骤，能有哪位大神帮忙解释一下吗？

Answer 1

本题需要先积y，若先积x计算量会很大。 ∫∫（y√1+x²-y²）dxdy =∫[-1--->1] dx ∫[x--->1]（y√1+x²-y²）dy =(1/2)∫[-1--->1] dx ∫[x--->1]（√1+x²-y²）d(y²) =(-1/2)∫[-1--->1] (2/3)(1+x²-y²)^(3/2) |[x--->1] dx =(-1/3)∫[-1--->1] [|x|³-1] dx 注意这里不能写x³，因为x有负值 被积函数是偶函数，由奇偶对称性 =(-2/3)∫[0--->1] [|x|³-1] dx =(2/3)∫[0--->1] [1-x³] dx =(2/3)(x-x⁴/4) |[0--->1] =(2/3)(1-1/4) =1/2

Answer 2

1.三个区域
2.放缩舍去D2
3.得到二重积分∫∫D1三次根号下...和∫∫D3三次根号下...
4.二重积分是一个范围mσ～Mσ
5.∴＜号后面的是＜最大值
6.最大值＜0，则原式＜0