Question

已知sin(π-α)=4/5,α∈(0,π/2) （1）求sin2α-cos^2（α/2）的值

(1)求sin2α-cos^2（α/2）的值
(2)求函数f(x)=5/6cosαsin2x-1/2cos2x的单调递增区间

Answer 1

已知sin(π-α)=4/5,α∈(0,π/2)
∴根据诱导公式得，sinα=4/5，又α∈(0,π/2)，∴cosα=3/5
(1)sin2α-cos²(α/2)=2sinαcosα-(1+cosα)/2=8/5；
（2）f(x)= 5/6cosαsin2x-1/2cos2x
=1/2sin2x-1/2cos2x
=(√2/2)sin(2x-π/4)
∵α∈(0,π/2)，∴2x-π/4∈（-π/4，3π/4）
当2x-π/4∈（-π/4，0）即x∈（0，π/8）时，f(x)为增函数，
∴f(x)的单调递增区间为（0，π/8）.

Answer 2

1,由sin(π-α)=4/5，且α∈(0,π/2）得sina=4/5;cosa=3/5;sin2α-cos^2（α/2)=2sinacosa-(1+cosa)/2=4/25;
2,f(x)=根号2/2（sin(2x-π/4)）,增区间为（-π/8+kπ,3π/8+kπ）,k是整数