Question

单调函数一定有反函数？

反之呢？

Answer 1

函数f(x)(x属于R)存在反函数等价于自变量与函数值一定一一对应，但不一定单调 如y=1/x反函数就是y=1/x，但在定义域上不单调 相反，单调函数一定一一对应，因此必定存在反函数。 所以“函数f(x)(x属于R)存在反函数”,是“函数f(x)在R上单调”的必要非充分条件 单调函数必有反函数，但为何有反函数的不一定是单调函数 这个应当从映射分析。 存在反函数的函数，定义域到值域是1-1对应或者叫双射。定义域和值域分别为D,B，若对于x1，x2∈D，x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B。那么就叫做1-1对应或双射【注意，这里的集合已经压缩到定义域和值域了，满射就能保证了】。这样的映射关系，存在一个逆映射，即存在反函数。 若函数是单调的，无论是增还是减，都能保证x1，x2∈D，x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B，因此单调函数存在反函数。 但是反过来：x1，x2∈D，x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B，能不能推出对于所有的x∈D,存在x1＞x2，f(x1)＞f(x2),或f(x1)＜f(x2)其中一个呢?不能了。已知x1≠x2，只能确定地得到f(x1)≠f(x2),至于大小关系是无法确定的。 函数单调性是存在反函数的充分非必要条件。

Answer 2

对，单调函数一定有反函数。反之，一个函数如果有反函数，它一定是单调的，且它的单调性和它的反函数是一致的。