Question

求教几何高手

RT△ABC ,AC=BC ,RT△CDE中,CD=DE,AD平行BC,连接BE .过点D作DG垂直于BE于点G,连接AE交DG于点H,求证AH=HE

Answer 1

普通几何方法没想出来，用解析几何解吧。
设C点为原点，AC=b，AD=a，则可知各点坐标如下：A(0,b)，B(b,0)，D(a,b)，E(a+b,b-a)
因此AE所在直线的方程为(a+b)y+ax-ab-b^2=0。
BE所在直线斜率为(b-a)/a，因此垂线DG的斜率为a/(a-b)，所在直线方程为(b-a)y+ax-a^2+ab-b^2=0。
联立上述两个方程，得到AE与DG的交点：
(a+b)y+ax-ab-b^2=0，(b-a)y+ax-a^2+ab-b^2=0
(b-a)y-a^2+ab-b^2=(a+b)y-ab-b^2
2ay=2ab-a^2，y=b-a/2，代入得x=(a+b)/2，因此H((a+b)/2,b-a/2)。
而AE中点的坐标也同样为((a+b)/2,b-a/2)，因此可知H为AE中点，AH=HE。

追问

还望用几何方法

追答

设AB与CE相交于点O，连接DO，由于AD//BC，则∠DAO=∠ABC=45度，而CDE也为等腰直角三角形，∠DCO=45度，∠DAO=∠DCO，因此可知ACDO四点共圆，因为∠CAD=90度，所以∠DOC=90度，也即DO为三角形CDE斜边上的中垂线。
取AE中点I，连接OI，则可知OI为三角形AEC的中位线，OI平行等于AC/2，由于BC=AC且BC⊥AC，则OI垂直等于BC/2，同时DO垂直等于CE/2，所以∠DOI=∠ECB，OD/CE=OI/CB=1/2，因此三角形DOI与三角形ECB相似，∠ODI=∠CEB，由于OD⊥CE，可知DI⊥EB，也即DI与DG在同一条直线上，点I即为点H，是AE的中点，故AH=HE得证。