Question

圆O1、圆O2相交于A、B，圆O2过圆O1的圆心。

（1）如图1，过A作圆O1的一条直径AC，连CB并延长交圆O2于D，连DO1，求证：DO1垂直于AC
（2）如图2，过A作圆O1的一条非直径的弦AC，连CB并延长交圆O2于点D，则DO1与AC还垂直吗？请证明你的结论

Answer 1

解：

(1)

证明：

易知，弧AO1=弧BO1,

∴∠BDO1=∠ADO1=(1/2)*∠ADB,

在圆O2内，易得∠ADB+∠AO1B=180°，

在圆O1内，有

∠AO1B=2∠O1CB,（圆心角是圆周角的2倍）

∴∠O1CB+∠O1DB
=(1/2)*(∠AO1B+∠ADB)
=(1/2)*180°
=90°，

∴∠DO1C
=180°-(∠O1CB+∠O1DB)
=90°，

∴DO1⊥AC

得证，

(2)

当AC不是直径时，
需要的所有条件都没有改变，

在圆O2中，仍然有

∠AO1B+∠ADB=180°，

∠ADB=2∠O1DB,

在圆O1中，弦AB对的圆周角∠ACB仍然是圆心角∠AO1B的1/2,

∴仍然有关系∠ACB+∠ADB=90°，

∴DO1⊥AC仍然成立！

如有不懂，欢迎再次提问，

谢谢！