Question

等边△ABC,D为AB的中点,E为BC上一点,以DE为边做等边△DEF,连接CF,AF.求证:EF=FC,2当角DAF=90=

等边△ABC中,D为AB的中点,E为BC上一点,以DE为边做等边△DEF,连接CF,AF.求证:EF=FC,2当角DAF=90,CE=1时,求BE的长

Answer 1

1.

连接CD，得△CDE。
在等边△ABC中，因为D为AB中点，所以CD平分∠ACB。∠DCE = ∠ACB/2 = 30°

过F，做FG垂直DE于G。
在等边△DEF中，因为FG垂直DE，因此FG为DE垂直平分线。

因为 F在DE垂直平分线上 且 ∠DCE = 30° = ∠DFE/2，所以F为CDE外接圆圆心。
(1. 同弦圆心角 = 圆周角的两倍 2. 外心为垂直平分线交点)

因为FE & FC 为圆F的半径，所以 FE = FC

2.

过A & D 分别作AI & DH垂直BC，其垂足分别为I & H。
因为△ABC为等边三角形 且 AI⊥BC，所以AI垂直平分BC。 => BI = BC/2

因为 ∠ADF + 60° + ∠BDE = 180° (平角) & ∠BED + 60° + ∠BDE = 180° (△BDE内角和)，所以 ∠ADF = ∠BED。
因为 ∠ADF = ∠BED & ∠DAF = ∠DHE = 90° & DF = DE，所以△ADF ≌ △HED
=> HE = AD = AB/2 = BC/2

因为 DH⊥BC，AI⊥BC，因此DH ∥ AI。
△ABI中，因为D为AB中点，DH ∥ AI，所以BH = BI/2 = BC/4.

BC = CE + HE + BH = 1 + BC/2 + BC/4
BC = 4
BE = 4 - 1 = 3

Answer 2

大哥，您能把图给出来吗？我不知道三角形DEF的f点在哪里？

Answer 3

才给5分，太抠没诚意，有谁愿意给你解答啊！