探究问题：已知AD、BE分别为△ABC 的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O．（1）△ABC为等边三角形，如图1
探究问题：已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O．（1）△ABC为等边三角形，如图1，则AO：OD=______；（2）当小明做完（1）...
探究问题：已知AD、BE分别为△ABC 的边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O．（1）△ABC为等边三角形，如图1，则AO：OD=______；（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若△ABC为一般三角形（如图2），（1）中的结论仍成立，请你给予证明．（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在△ABC中，点E是边AC的中点，AD平分∠BAC，AD⊥BE于点F，若AD=BE=4．求：△ABC的周长．
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（1）解：连接DE，
∵AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，
∴DE∥AB，DE=
AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．
故答案为：2：1；
（2）证明：连接DE，
∵D、E为AC、BC中点，
∴DE∥AB，DE=
AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．
（3）解：过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G，并延长AD交CG于点H．
∵E是边AC的中点，
∴B是边AG的中点，
∴BE是△ACG中位线，
∵AD平分∠BAC，AD⊥BE于点F，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
在△ABF和△AEF中，
∵
，
∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB=AE，
∵BE∥CG，
∴AB：AG=AE：AC，
∴AG=AC，
∵AF⊥BE，
∴AH⊥CG，
∴H为CG中点，
由上述结果可知：AD：DH=2：1，CD：DB=2：1，
∴DH=
AD=
×4=2，
∴AH=AD+DH=6，
∵CG=2BE=8，
∴CH=GH=4，
∵BE为中位线，
∴AF=FH=
AH=3，
∴DF=AD-AF=4-3=1，
在Rt△DHC中，CD=
=
=2
，
∴BD=
CD=
∵AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，
∴DE∥AB，DE=
| 1 |
| 2 |
∴△ODE∽△OAB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．
故答案为：2：1；
（2）证明：连接DE，
∵D、E为AC、BC中点，
∴DE∥AB，DE=
| 1 |
| 2 |
∴△DOE∽△AOB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．
（3）解：过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G，并延长AD交CG于点H．
∵E是边AC的中点，
∴B是边AG的中点，
∴BE是△ACG中位线，
∵AD平分∠BAC，AD⊥BE于点F，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
在△ABF和△AEF中，
∵
|
∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB=AE，
∵BE∥CG，
∴AB：AG=AE：AC，
∴AG=AC，
∵AF⊥BE，
∴AH⊥CG，
∴H为CG中点，
由上述结果可知：AD：DH=2：1，CD：DB=2：1，
∴DH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AH=AD+DH=6，
∵CG=2BE=8，
∴CH=GH=4，
∵BE为中位线，
∴AF=FH=
| 1 |
| 2 |
∴DF=AD-AF=4-3=1，
在Rt△DHC中，CD=
| CH2+DH2 |
| 42+22 |
| 5 |
∴BD=
| 1 |
| 2 |
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