Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

解答：方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC    ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE    ②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB
设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，  BD＝

2

aPB＝

PD2+BD2

＝

3

a，PC＝

PD2+DC2

＝

2

aDE＝

1

2

PC＝

2

2

a
在Rt△PDB中，DF＝

PD?BD

PB

＝

a? 2 a

3 a

＝

6

3

a
在Rt△EFD中，sinEFD＝

DE

DF

＝

2 2 a

6 3 a

＝

3

2

，∴∠EFD＝

π

3

所以，二面角C-PB-D的大小为

π

3

；
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A(a，  0，  0)，  P(0，  0，  a)，  E(0，  

a

2

，  

a

2

)
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(

a

2

，  

a

2

，  0)且

PA

＝(a，  0，  ?a)，  

EG

＝(

a

2

，  0，  ?

a

2

)
∴

PA

＝2

EG

，这表明PA∥EG
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）证明；依题意得B（a，a，0），

PB

＝(a，  a，  ?a)
又

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