如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明P... 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小． 展开
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1个回答
#热议# 网上掀起『练心眼子』风潮，真的能提高情商吗？
czgc298
推荐于2017-09-28 · TA获得超过110个赞
知道答主
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解答：方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC    ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE    ②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB
设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，  BD＝
2
aPB＝
PD2+BD2
＝
3
a，PC＝
PD2+DC2
＝
2
aDE＝
1
2
PC＝
2
2
a
在Rt△PDB中，DF＝
PD?BD
PB
＝
a?
2
a
3
a
＝
6
3
a
在Rt△EFD中，sinEFD＝
DE
DF
＝
2
2
a
6
3
a
＝
3
2
，∴∠EFD＝
π
3

所以，二面角C-PB-D的大小为
π
3
；
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A(a，  0，  0)，  P(0，  0，  a)，  E(0，  
a
2
，  
a
2
)
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(
a
2
，  
a
2
，  0)且
PA
＝(a，  0，  ?a)，  
EG
＝(
a
2
，  0，  ?
a
2
)
∴
PA
＝2
EG
，这表明PA∥EG
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）证明；依题意得B（a，a，0），
PB
＝(a，  a，  ?a)
又
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