(2013?黄浦区一模)如图,点D是Rt△ABC斜边AB上一点,点E是直线AC左侧一点,且EC⊥CD,∠EAC=∠B.(1)
(2013?黄浦区一模)如图,点D是Rt△ABC斜边AB上一点,点E是直线AC左侧一点,且EC⊥CD,∠EAC=∠B.(1)求证:△CDE∽△CBA;(2)如果点D是斜边...
(2013?黄浦区一模)如图,点D是Rt△ABC斜边AB上一点,点E是直线AC左侧一点,且EC⊥CD,∠EAC=∠B.(1)求证:△CDE∽△CBA;(2)如果点D是斜边AB的中点,且tan∠BAC=32,试求S△CDES△CBA的值. (S△CDE表示△CDE的面积,S△CBA表示△CBA的面积)
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解答:(1)证明:∵EC⊥CD,
∴∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,
即∠ECA=∠BCD,
又∵∠EAC=∠B,
∴△ACE∽△BCD,
∴CE:CD=AC:BC,
∴CD:BC=CE:AC.
在△CDE与△CBA中,
,
∴△CDE∽△CBA;
(2)解:在直角△ABC中,∵∠ACB=90°,tan∠BAC=
=
,
∴可设BC=3k,则AC=2k,
∴AB=
=
k.
∵点D是斜边AB的中点,
∴CD=
AB=
k.
∵△CDE∽△CBA,
∴
=(
)2=(
)2=
.
∴∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,
即∠ECA=∠BCD,
又∵∠EAC=∠B,
∴△ACE∽△BCD,
∴CE:CD=AC:BC,
∴CD:BC=CE:AC.
在△CDE与△CBA中,
|
∴△CDE∽△CBA;
(2)解:在直角△ABC中,∵∠ACB=90°,tan∠BAC=
BC |
AC |
3 |
2 |
∴可设BC=3k,则AC=2k,
∴AB=
BC2+AC2 |
13 |
∵点D是斜边AB的中点,
∴CD=
1 |
2 |
| ||
2 |
∵△CDE∽△CBA,
∴
S△CDE |
S△CBA |
CD |
CB |
| ||||
3k |
13 |
36 |
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