Question

设a,b,∈[0,π],a≠b,证明:sin((a+2b)/3)>1/3(sina+2sinb）

设a,b,∈[0,π],a≠b,证明:sin((a+2b)/3)>1/3(sina+2sinb）写一下解答过程，发答案照片给我也行

Answer 1

因为正弦函数为上凸函数，所以有：
sin((x+y+z)/3)>=1/3(sinx+siny+sinz)
所以
sin((a+b+b)/3)>=1/3(sina+sinb+sinb)
相当于sin((a+2b)/3)>=1/3(sina+2sinb）
又因为a不等于b,所以等号不会成立，所以sin((a+2b)/3)>1/3(sina+2sinb）

Answer 2

令f(x)=sinx
f''(x)=-sinx<0,x∈(0,π)
∴f(x)=sinx在[0,π]上是上凸函数
由上凸函数的定义可知,对区间[0,π]内任意两点a,b以及任意t∈(0,1),都满足:
sin(ta+(1-t)b)>tsina+(1-t)sinb
取t=1/3∈(0,1),即得要证的不等式