Question

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（μ，σ2）与N（μ，2σ2），其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（μ，σ2）与N（μ，2σ2），其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X-Y．（Ⅰ）求z的概率密度f（z，σ2）；（Ⅱ）设z1，z2，…，zn为取自Z的简单随机样本，求σ2的极大似然估计量?σ2；（Ⅲ）证明?σ2是σ2的无偏估计量．

Answer 1

（I）
因为X，Y相互独立且均服从于正态分布，所以Z=X-Y也服从于正态分布．
又因为：
E（Z）=E（X-Y）=E（X）-E（Y）=μ-μ=0，
D（Z）=D（X-Y）=D（X）+D（Y）=3σ²，
所以：Z～N（0，3σ²），
从而可得Z的概率密度为：
fZ(z，σ2)=

1

2π 3 σ

e?

z2

2?3σ2

=

1

6π σ

e?

z2

6σ2

，-∞＜z＜+∞．

（II）
σ²的最大似然函数为：
L（σ²）=

n π

i＝1

f(zi；σ2)=

n π

i＝1

(

1

6π σ

e?

zi2

6σ2

)，-∞＜z_i＜+∞，i=1，2，…，n．
两边取对数，得：
ln L（σ²）=

n

i＝1

(?ln

6

π?

1

2

lnσ2?

zi2

6σ2

)，
对上式两边求导，得：

d lnL(σ2)

dσ2

=

n

i＝1

(?

1

2σ2

+

zi2

6(σ2)2

)=

1

6(σ2)2

(?3nσ2+

n

i＝1

zi2)．
令：

d lnL(σ2)

dσ2

=0，
可得：σ²=

1

3n

n

i＝1

zi2，
所以σ²的极大似然估计量为：

σ

2=

1

3n

n

i＝1

zi2．

（III）
因为：E

σ

2=

1

3n

n

i＝1

E(zi2)=

1

3n

?nE(Z2)=

1

3

（D（Z）+（E（Z））²）=

1

3

（3σ²+0）=σ²，
所以

σ

2为σ²的无偏估计．