Question

如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°．（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．（2）

如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°．（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B=30°，∠C=60°则∠EAD=______°；当∠B=50°，∠C=60°时，则∠EAD=______°；当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD=______°；当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD=______°．（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．

Answer 1

（1）（1）∵∠B=20°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-20°-60°=100°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=50°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=50°-30°=20°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-50°-60°=70°；

（2）①∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=45°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=45°-30°=15°；
②∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°；
③∵∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=30°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=30°-30°=0°；
④∵∠B=70°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-70°-60°=50°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=25°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=30°-25°=5°；
故答案为：15°，5°，0°，5°；

（3）当α＜β时，
∵∠B=α°，∠C=β°，
∴∠BAC=180°-α°-β°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=（90-

1

2

α?

1

2

β）°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=[（90-

1

2

α?

1

2

β）°-（90°-β°）]=

1

2

（β-α）°；
当α＞β时，
∵∠B=α°，∠C=β°，
∴∠BAC=180°-α°-β°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=（90-

1

2

α?

1

2

β）°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=[（90°-β°）-（90-

1

2

α?

1

2

β）°]=

1

2

（α-β）°．
答：当α＜β时，∠EAD=

1

2

（β-α）°，当α＞β时，∠EAD=

1

2

（α-β）°．