Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2．（Ⅰ）求证

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2．（Ⅰ）求证：PA1⊥BC；（Ⅱ）求证：PB1∥平面AC1D；（Ⅲ）求VA1-ADC1．

Answer 1

（I）证明：取B₁C₁的中点Q，连接A₁Q，PQ．
∵A₁B₁=A₁C₁，PB₁=PC₁，∴A₁Q⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁，
又PQ∩A₁Q=Q，∴B₁C₁⊥平面PQA₁，
∴BC⊥PA₁．
（II）证明：连接BQ，在△PB₁C₁中，∵PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q为B₁C₁的中点，
∴PQ=1，BB₁=PQ，BB₁∥PQ．
∴四边形BB₁PQ为平行四边形．
∴PB₁∥BQ．又BQ∥DC₁，
∴PB₁∥DC₁，
∵PB₁?平面AC₁D，DC₁?平面AC₁D，
∴PB₁∥平面AC₁D．
（III）解：作DE⊥AC，则DE⊥平面AA₁C₁，DE=DC?sin60°=

3

2

．
S△AA1C1=

1

2

×2×1=1．
∴VA1?AC1D＝VD?AA1C1=

1

3

×S△AA1C1×DE=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．