Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB= ，点F是PD的中点，点E在CD上移动．

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB= ，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（2）求证：PE⊥AF．





Answer 1

（1）解：当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC． 理由如下： ∵点E，F分别为CD，PD的中点， ∴EF∥PC． ∵PC 平面PAC，EF 平面PAC， ∴EF∥平面PAC． （2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD， ∴CD⊥PA．又ABCD是矩形， ∴CD⊥AD， ∵PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD． ∵AF 平面PAD， ∴AF⊥CD． ∵PA=AD，点F是PD的中点， ∴AF⊥PD．又CD∩PD=D， ∴AF⊥平面PDC． ∵PE 平面PDC， ∴PE⊥AF．