Question

观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=254+5+...

观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…（Ⅰ）照此规律，请你猜测出第n个等式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你猜测的等式______．（其他证法不给分）

Answer 1

（Ⅰ）解：根据题意，观察可得，
第一个等式的左边、右边都是1，
第二个等式的左边是从2开始的3个数的和，
第三个等式的左边是从3开始的5个数的和，
…
其规律为：第n个等式的左边是从n开始的（2n-1）个数的和，
即n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²；
故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
当n=k+1时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）=（2k-1）²+（3k-1）-k+3k+（3k+1）═（2k+1）²．
综上（1）（2）可知n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²对于任意的正整数n都成立．