Question

设f(x)＝(x+a)lnxx+1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）

设f(x)＝(x+a)lnxx+1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范围．（3）求证：ln42n+1＜ni＝1i4i2?1．(n∈N*)．

Answer 1

（1）f′(x)＝

( x+a x +lnx)(x+1)?(x+a)lnx

(x+1)2

-----------------------（2分）
由题设f′(1)＝

1

2

，
∴

(1+a)2

4

＝

1

2

∴1+a=1，∴a=0．-------------------------------（4分）
（2）f(x)＝

xlnx

x+1

，?x∈（1，+∞），f（x）≤m（x-1），即lnx≤m(x?

1

x

)
设g(x)＝lnx?m(x?

1

x

)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．
g′(x)＝

1

x

?m(1+

1

x2

)＝

?mx2+x?m

x2

-------------------------------------（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．-----------------（8分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判别式△=1-4m²
当△≤0，即m≥

1

2

时，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．-------------------------------------------（9分）
当0＜m＜

1

2

时，方程-mx²+x-m=0，其根x1＝

1? 1?4m2

2m

＞0，x1＝

1+ 1?4m2

2m

＞1，
当x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．
综上所述，m≥

1

2

．------------------------------------------------------------------------（10分）
（3）由（2）知，当x＞1时，m＝

1

2

时，lnx＜

1

2

(x?

1

x

)成立．
不妨令x＝

2k+1

2k?1

，k∈N*
所以ln

2k+1

2k?1

＜

1

2

(

2k+1

2k?1

?

2k?1

2k+1

)＝

4k

4k2?1

，

1

4

[ln(2k+1)?ln(2k?1)]＜

k

4k2?1

，k∈N*----------------------（11分）

1 4 (ln3?ln1)＜ 1 4×12?1 1 4 (ln5?ln3)＜ 2 4×22?1 … 1 4 (ln(2n+1)?ln(2n?1))＜ n 4×n2?1

---------------------（12分）
累加可得

1

4

ln(2n+1)＜

n

i＝1

i

4i2?1

．(n∈N*)．即ln

4	2n+1

＜

n

i＝1

i

4i2?1

．(n∈N*)．------------------------（14分）