Question

已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB+AC＞AD+AE

已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB+AC＞AD+AE．

Answer 1

证明：连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，
∴BG=AC，DG=AE，
延长AD至H，交BG于H，
∵AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，
∴AB+BH+DH+HG＞AD+DH+DG，
∴AB+BG＞AD+DG，
即AB+AC＞AD+AE．

Answer 2

将△ACE平移使EC与BD重合，点A移动至点F，FD交AB于N，
在三角形FBN中，FN+BN＞FB，
在三角形ADN中，DN+AN＞AD，相加可得FN+BN+DN+AN＞FB+AD
由平移可得FN+DN=FD=AC，BN+AN=AB,FB=AD
可得：AB+AC＞AD+AE