Question

用一个平面去截正方体，截面可能是七边形吗？请说出原因

Answer 1

这道题看似简单，其实证明很麻烦。结论是不可能，也就是一个平面截一个

正方体，不可能同时与它的七个棱相交。直观上是明显的，最多交六个棱。

我们用代数证明，取坐标系，使12个棱上点的坐标分别是：（a,0,0）

（0,b,0）,（0,0,c）,（1,b.0）,（1,0,c）,（a,1,0）,（0,1,c）,

（a,0,1）,（0,b,1）,（1,1,c）,（1,b,1）,（a,1,1）.[0＜a,b.c＜1]

然后取七个点（共C[12,7]种取法），再证明这七个点不共面行了。我作一个吧

设平面 mx+ny+pz+q＝0[m,n,p不全为0]过后七个点，（a,1,0）,（0,1,c）,

（a1,0,1）,（0,b,1）,（1,1,c1）,（1,b1,1）,（a2,1,1）.则有：

ma+n++q＝0
n+pc+q＝0
ma1++p+q＝0
nb+p+q＝0
m+n+pc1+q＝0
m+nb1+p+q＝0
ma2+n+p+q＝0

把它看成m,n,p,q的齐次线性方程组，容易计算（我具体计算了）其系数矩阵

的秩为4，方程组只有零解，即m＝n＝p＝q＝0,这与[m,n,p不全为0]矛盾。

[我说麻烦，就是要计算C[12,7]＝792个矩阵的秩都是4，这已经超出人力范围

了！]

Answer 2

不可能，最多只能是六边形

Answer 3

不可能，因为面与面相交得到线，所以不可能。