Question

如何证明矩阵是正定，负定，半正定，半负定

Answer 1

首先我们先给出矩阵的正定，负定，半正定，半负定，不定的定义。设A是实对称矩阵，有如下：A正定：如果对任意的实非零列矩阵X有 即 A负定：如果对任意的实非零列矩阵X有 即 A半正定：如果对任意的实非零列矩阵X有 即 A半负定：如果对任意的实非零列矩阵X有 即 A不定：如果A既不是半正定，又不是半负定的。即 二：正定的判断条件设A是实对称矩阵, ，以下条件是等价的：（i）                A是正定的；（ii）            A的正惯性指数等于它矩阵的阶数；（iii）        A相合于单位矩阵；（iv）            ；（v）                A的所有顺序主子式大于零。其中，若A正定，则A的行列式大于零。证明：（1）A是实对称矩阵，在 中取一组基 则在这组基下存在一对称双线性函数f，使得f在这组基 下的度量矩阵就A。:在 中存在一组基 ，使得f关于基 的度量矩阵是对角矩阵B。A是正定的，所以 ，特别的取 ，所以适当调整 的系数，则可以使得B=E。则由于E的正惯性指数等于n（矩阵的阶数）的，所以f的正惯性指数也等于n，所以A的正惯性指数等于n（矩阵的阶数）的。：A的正惯性指数等于n，则f的正惯性指数为n，则存在一组基 使得 。所以f是正定的，所以A是正定的。（2）：由 的证明可知，A与E是f在不同基下的度量矩阵，则A相合于E.：A是相合于E的，A的正惯性指数等于E的正惯性指数就等于n，所以由 知A是正定的。（3）：A是正定的，则A相合于E，即存在T是可逆的，使得 ，所以若A正定，则A的行列式大于零。： ，则令可逆矩阵T满足： ，则有，所以A相合于E，则A是正定的