Question

证明一下这个

若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,c)成中心对称,关于直线x=b（b＞a）成轴对称，则f（x）是周期函数，它的最小正周期是什么？

Answer 1

定理：若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个最小周期。
证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………(**)，用2（a－b－x代x得
f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入(**)得：
f(x)=f[4(a－b)+x]，故y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。