Question

一道数学题 奇偶性

已知a,b,c,d,e,f都是整数，并且满足等式a²+b²+c²+d²+e²=f².求证这六个数中存在偶数。

Answer 1

反证法。
设abcdef中不存在偶数，都是奇数，即设abcdef都是奇数。
令a=2k₁+1，b=2k₂+1,c=2k₃+1,d=2k₄+1,e=2k₅+1,f=2k₆ +1;
其中k1~k6都是整数。
等式化为：(2k1+1)²+(2k2+1)²+(2k3+1)²+(2k4+1)²+(2k5+1)²=(2k6+1)²;
平方出来，左右减1，左右除以4，
继续： k1*(k1+1)+k2*(k2+1)+k3*(k3+1)+k4*(k4+1)+k5*(k5+1)+1
=k6*(k6+1);
分析：在k为整数的情况下，k(k+1)就是一个偶数（不论k是奇还是偶）。
所以上式等式左边是：偶数+偶数+偶数+偶数+偶数+1，是个奇数；
等式右边是个偶数。
左右无法相等，等式不能成立，所以之前的“abcdef都是奇数”是错误的，得证。