Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,

且当x大于等于0时,f(x)=x^2,若对任意的x属于【t,t+2】,不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是

Answer 1

f(x)是定义在R上的奇函数,
且当x大于等于0时,f(x)=x^2,
x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x)^2=-x^2.
x∈[t,t+2],x+t∈[2t,2t+2]
以下分几种情况：
1)t>=0时f(x+t)>=2f(x)变为
(x+t)^2>=2x^2,
g(x)=x^2-2tx-t^2<=0(t<=x<=t+2)<==>
{g(t)=-2t^2<=0,
{g(t+2)=4-2t^2<=0.
<==>t^2>=2,
∴t>=√2.
2）t<=-2时不等式变为
-(x+t)^2>=-2x^2,
g(x)>=0
==>g(t)>=0,不可能。
3）-2<t<0时x-2<x+t<x,
i)0<=x+t,不等式变为
(x+t)^2>=2x^2,g(t)<=0,t^2>=2,-2<t<=-√2；
ii)x+t<0<=x,不等式变为
-(x+t)^2>=2x^2,
h(x)=3x^2-2tx-t^2<=0(x∈[t,t+2]),<==>
{h(t)=0,
{h(t+2)=8t+12<=0.
<==>-2<t<=-3/2.
iii)x<0,不等式变为
-(x+t)^2>=-2x^2,g(x)>=0==>g(t)>=0,不可能。
综上，-2<t<=-√2，或t>=√2，为所求。

Answer 2

先求在x小于等于0的解析式
当x<0时 -x>0
f(x)=-f(-x)=-x^2
画图可知f(x)在R上单调递增
关键一步 2f(x)=f(√2x)
f(t+x)>=f(√2x)
因单调递增 t+x>=√2x在【t,t+2】上横成立
即x(1-√2)+t>=0 看成是一次函数
k=1-√2 <0单调递减 若要在[t,t+2]大于等于0恒成立
则最小值》0
即x=t+2时最小
（t+2)(1-√2)+t>=0
解得 t>=√2

不懂再问