Question

若f(x)=√[mx²+（m－1)x+1]的的值域为[0,+∞]，求m的取值范围

Answer 1

f(x)=√[mx²+（m－1)x+1]值域为[0,+∞]
根号内二次函数的开口向上，顶点在x轴及x轴的下方
mx²+(m-1)x+1=m[x+(m-1)/2m]²+1-(m-1)²/4m
开口向上:m>0
顶点f(x)=1-(m-1)²/4m≤0
令g(m)=1-(m-1)²/4m
g'(m)=-[2(m-1)m-(m-1)²]/4m²=[m²-1]/4m²
极大值点m=1 极大值g(m)=1
m∈(0,1)单调递增，m∈(1，+∞)单调递减
g(m)零点：1-(m-1)²/4m=0→m²-6m+1=0 m₁=3-2√2 m₂=3+2√2

∴m的取值范围为m∈(0,3-2√2]∪[3+2√2,+∞)

Answer 2

f(x)=√[mx²+（m－1)x+1]的值域为[0,+∞]
则mx²+（m－1)x+1值域为[0,+∞]
m≥0