Question

y=x+｜sin2x｜的单调区间，详细过程

Answer 1

把绝对值去掉即可，详情如图所示

Answer 2

思路是把y分成两个部分考虑,y1=x肯定是单调递增的,直线斜率为1
而y2=|sin2x|周期为π/2,单个周期内形状是在x轴上方的一个弧线
于是只要考虑[0,π/2]内的情况就行了,其他全是重复的
在[0,π/2]内y2=sin2x,其中[0,π/4]内y2=sin2x是递增的,但是在[π/4,π/2]上y2=sin2x是递减的,其斜率一直在变化,所以y的增减情况无法直接判断.所以这里需要通过求三角函数斜率的方式判断y=y1+y2到底是递增还是递减
于是给y2=sin2x求导.y2的斜率k2=(sin2x)'=2*cos2x
所以y的斜率k就是y1的斜率1加上y2的斜率k2,
即k=1+2*cos2x,x的范围是[0,π/2]
经过简单计算可得到：
当x属于[0,π/3)时,k＞0,即y单调递增；
当x=π/3时,k=0（临界点）；
当x属于(π/3,π/2]时,k＜0,即y单调递减.
推广到R上：
当x属于[mπ/2,π/3+mπ/2]时,y单调递增；
当x属于[π/3+mπ/2,π/2+mπ/2]时,y单调递减.（这里区间开闭关系不大）
当然别忘了写上m属于Z（平时都是写k属于整数Z的,因为我前面k用来表示斜率了所以换用m）

Answer 3

极值点是最小值时：
f'(x)=1/x+a/x^2， f''(x)=-1/x^2-2a/x^3
f'(x)=0时，1/x+a/x^2=0，x=-a
f(-a)=ln(-a)-a/(-a)=ln(-a)+1
若ln(-a)+1=2，则a=-e，
此时x=e在区间[1,e]内,f''(e)=1/e^2>0,即存在极小值
边界值x=1处是函数最小值时：
f(1)=ln1-a=2，则a=-2
此时极值点f(-a)=f(2)=ln2+2/2=ln2+1<2，即比边界值更小，故f(1)不是函数最小值
因此a=-e