Question

高中 函数问题 （要有详解）

设函数f(x)=x*{e^x+ae^(-x)}为偶函数.
则实数a=

(要有详解)

Answer 1

法一：∵函数f(x)=x*[e^x+ae^(-x)]的定义域为R，且为偶函数，
∴f(-x) =f(x)恒成立，
即 (-x) [e^(-x)+ae^x]= x*[e^x+ae^(-x)]恒成立，
∴(a+1)x[e^x+e^(-x)]=0恒成立，得a= -1.

法二：∵函数f(x)=x*[e^x+ae^(-x)]的定义域为R，且为偶函数，
∴f(-1)=f(1)，
即 –[e^(-1)+ae]=e+ae^(-1)，
∴（a+1）[e+e^(-1)]=0，
得a= -1.

Answer 2

因为f(x)=x*{e^x+ae^(-x)}为偶函数.
所以f(x)=f(-x)
即x*{e^x+ae^(-x)}=（-x）*{e^（-x）+ae^x}
左右消去公因式x,并且移项得 (a+1)e^(-x)=-(a+1)e^x ①
因为 e^(-x)和 e^x都不可能等于零
所以①式成立的条件是(a+1)=-(a+1)=0 ②
所以 由②得 a=-1

Answer 3

因为原函数是偶函数，故f(x)=f(－x),带入函数原即可得一个恒成立的方程，然后,令x=1,易知，a=-1.

Answer 4

跟据偶函数的性质 F(x)=F(-x) 可以得到另外的一个式子!然后连立解得 a=-1 太晚了!用手机步骤不好打!主要利用好性质进行计算!偶函数关于Y轴对称!自己算会记忆深刻! 希望你取得进步