Question

已知a,b为正实数且a²+2b²=2求a+b的最大值求多种解法

Answer 1

［方法1］
令a＋b＝m，则：a＝m－b，又a^2＋2b^2＝2，∴（m－b）^2＋2b^2－2＝0，
∴3b^2－2mb＋m^2－2＝0。
∵b是实数，∴判别式＝（－2m）^2－4×3（m^2－2）≧0，∴m^2－3m^2＋6≧0，

∴m^2≦3，自然有：m＞0，∴0＜m≦√3。
∴m的最大值是√6，即：（a＋b）的最大值是√3。
［方法2］
∵a^2＋2b^2＝2，∴可令a＝√2cosu、b＝sinu，得：
a＋b＝√2cosu＋sinu＝√3［（√2/√3）cosu＋（1/√3）sinu］。
引入辅助角t，使sint＝√2/√3、cost＝1/√3，得：
a＋b＝√3（sintcosu＋costsinu）＝√3sin（t＋u）≦√3，∴（a＋b）的最大值是√3。
［方法3］
由柯西不等式，有：
（a＋b）^2＝［a＋（1/√2）（√2b）］^2≦（1＋1/2）（a^2＋2b^2）＝（3/2）×2＝3，
又a、b都是正数，∴a＋b≦√3，∴（a＋b）的最大值是√3。
［方法4］
令a＝x、b＝y、a＋b＝x＋y＝u。
∵a、b都是正数，∴当x＋y＝u与x^2＋2y^2＝2在第一象限相切时，u取得最大值。
对x^2＋2y^2＝2两边求导数，得：2x＋2yy′＝0，∴y′＝－x/（2y）。
设x＋y＝u与x^2＋2y^2＝2在第一象限相切于（m，n），则有：－m/（2n）＝－1，
∴m＝2n，∴（a＋b）的最大值＝m＋n＝3n。
显然有：m^2＋2n^2＝2，∴6n^2＝2，∴n^2＝1/3，∴n＝1/√3，∴3n＝√3。
于是，（a＋b）的最大值是√3。