Question

高一数学题求教

A={x属于R|x²-4ax+2a+6=0}.B={x属于R|x<0}.若A交B≠空集.求a范围.要有解题思路.不要只写一个答案

Answer 1

已知集合A＝｛x∈R｜x²－4ax＋2a＋6＝0｝，B＝｛x∈R｜x＜0｝，若A∩B≠空集，求实数a的取值范围因为A∩B≠空集，所以A不为空集,且方程至少有一个负数根

所以根的判别式应不小于0
得：16a^2-4(2a+6)>=0,即 2a^2-a-3>=0
解得：a>=3/2或a<=-1
经验证a=3/2时，根为3（两等根），舍去
a=-1时，根为-2（两等根），合题意

所以 a>3/2或a<=-1
当方程两个根都是正数时，有两根之和大于0，两根之积大于0
得 4a>0且2a+6>0,即a>0
所以方程两个根都是正数时，a>3/2
对a>3/2在a>3/2或a<=-1范围内取补集，
即得到方程至少有一个负数根情况下a的取值范围,即a<=-1
综上 a<=-1

参考:

x^2-4ax+2a+6=0可化为(x-2a)^2=4a^2-2a-6

∵A∩B≠空集 ∴A≠空集 4a^2-2a-6>=0（因为△＞0）

∴a>=3/2或a<=-1；

又∵(x-2a)^2=4a^2-2a-6

得到x=2a+根号（4a^2-2a-6）或x=2a-根号（4a^2-2a-6）

∴2a+号（4a^2-2a-6）<0或2a-根号（4a^2-2a-6）<0

解得-3<a<0或a<=-1；

所以实数a的取值范围是：a≤-1

Answer 2

解：
∵ A∩B≠Φ, 又B≠Φ,
∴ A≠Φ,即方程f(x)=x²-4ax+2a+6=0有负实数根:
判别式△=16a²-8a-24≥0, 2a<0,f(0)=2a+6>0……………………(1)
f(0)<0. ………………(2)
不等式组(1)的解为-3<a≤-1,
不等式(2)的解为a<-3.
∴ a∈(-∞,-3)∪[(-3,-1]

Answer 3

对于A--- x属于一元二次方程，需要解出该方程的解，其解是用a表示的，
而B又界定了x的范围，其值小于0，二者相交不为空，剩下的就好做了。
第一步得出的x的值会有两个，一个＞0，一个小于0，只需利用小于0的那个，这样才不会是空集。你试着解吧。