Question

15,一道概率题

15.设一电路有两个同种电器元件，其工作状态相互独立，无故障工作时间X1,X2都服从指数分布，密度函数f(x)={3e-3x,x≥0
0，x<0 现将两个电器元件串联，当两个元件都无故障时，电路工作正常，否则电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率密度。

Answer 1

密度函数f(x)={3e-3x,x>=0,
0，x<0

则分布函数为：F(x1)=1-e^(-3x1),x1>=0,F(x2)=1-e^(-3x2),x2>=0

设电路正常工作的时间为z，则z=min(x1,x2),其分布函数为
FZ(z)=P((x1<z)∪(x2<z))=P(x1<z)+P(x2<z)-P((x1<z)∩(x2<z))
=F1(z)+F2(z)-F1(z)F2(z)(相互独立!)=2F(z)-F(z)^2
电路正常工作的时间的概率密度f(z)=FZ'(z)=2f(z)-2F(z)f(z)
=6e^(-3z)-2(1-e^(-3z)3e^(-3z)=6e^(-6z) z>=0