Question

∫∫ye^(xy)dxdy,其中D是由曲线xy=1与x=1,x=2,及y=2所围

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

原式=∫[1,2]dx∫[1/x,2]ye^(xy)dy
=∫[1,2]dx∫[1/x,2]y/xe^(xy)d(xy)
第一个对y的积分中x是常数
=∫[1,2]1/xdx∫[1/x,2]yde^(xy)
1/x可以看作常数提到积分号的前面（dx的积分中）
=∫[1,2]1/xdx(ye^(xy)|[1/x,2]-∫[1/x,2]e^(xy)dy)
用一次分部积分
=∫[1,2]1/xdx(2e^(2x)-e/x-1/x*∫[1/x,2]de^(xy))
=∫[1,2]1/xdx(2e^(2x)-e/x-1/x*e^(2x)+e/x)
=∫[1,2](2e^(2x)x-e^(2x)/x^2)dx
=∫[1,2]d(e^(2x)/x)=e^4/2-e^2

Answer 3

首先画出积分区域,
x的取值范围是1/y到y,
而y的取值范围是1到2,
所以
∫∫d
xy
dxdy
=∫(上限2,下限1)
y*dy
∫
(上限y,下限1/y)
x*dx
显然
∫
(上限y,下限1/y)
x*dx
=
x/2
(代入上限y,下限1/y)
=y/2
-1/(2y)
那么
∫∫d
xy
...