Question

已知函数f（x）=x/（ax+b）（a,b为常数，a≠0）满足f（2）=1,且方程f（x）=x有唯一解

（1）求f（x）的解析式
（2）若xn=f（xn-1）,且x1＞0（n∈N,n≥2）,求证：数列｛1/xn｝为等差数列，并求xa

Answer 1

解：
（1）
f（x）=x/（ax+b）
∵f（2）=1,
∴2a+b=2
又∵方程f（x）=x有唯一解
x/（ax+b）=x
即(x-ax^2-bx)/(ax+b) =0有唯一解
即x(ax+b-1)=0有唯一解
显然只能是x=0
那么只需b-1=0
∴b=1
∵2a+b=2
∴a=1/2
则f(x)=x/(0.5 x+1)
(2)
Xn=f(Xn-1) (这个写法xn=f（xn-1）会产生歧义，以后注意啊）
Xn=2Xn-1 / (Xn-1 +2) (n≥2)
则1/Xn =1/2 +1/Xn-1
即（1/Xn） -（1/Xn-1） =1/2 (常数） (n≥2)
∴｛1/xn｝为A.P (n≥2)
则1/Xn =1/X2 + (1/2)*(n-2)
又 1/X2 =1/2 +1/X1
即1/Xn =1/X1 + (1/2)*(n-1)
将X1代入，显然成立
∴数列｛1/xn｝为A.P,n∈N+
Xa=X(1/2)=1/X1 -1/4