Question

n趋近于无穷大,求limn(1/(n2+1)+1/(n2+2)+...+1/(n2+n)=

Answer 1

n^(1/n) = e^ln(n^(1/n))=e^((1/n)ln n)=e^((ln n)/n)

当n趋近于无穷大时,(ln n)/n是∞/∞型,可以用洛必达法则：

lim(ln n)/n = lim (ln n)'/(n)' =lim (1/n)/1 =lim(1/n)

当n->∞时,1/n->0. 所以 limn^(1/n) = lim[e^((ln n)/n)] = e^0 =1

数学定义

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

Answer 2

n^(1/n) = e^ln(n^(1/n))=e^((1/n)ln n)=e^((ln n)/n)
当n趋近于无穷大时,(ln n)/n是∞/∞型,可以用洛必达法则：
lim(ln n)/n = lim (ln n)'/(n)' =lim (1/n)/1 =lim(1/n)
当n->∞时,1/n->0. 所以 limn^(1/n) = lim[e^((ln n)/n)] = e^0 =1

Answer 3

夹逼准则，大于n2/(n2+n)小于n2/(n2+1)