已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切...
已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)若直线l:y=kx+m与曲线...
已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)若直线l:y=kx+m与曲线C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
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(1)解:圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,
设动圆P半径为R.
∵M在N内,∴动圆只能在N内与N内切,不能是N在动圆内,即:R<3
动圆P与圆M外切,则PM=1+R,
动圆P与圆N内切,则PN=3-R,
∴PM+PN=4,即P到M和P到N的距离之和为定值.
∴P是以M、N为焦点的椭圆.
∵MN的中点为原点,故椭圆中心在原点,
∴2a=4,a=2,2c=MN=2,c=1,
∴b2=a2-c2=4-1=3,
∴C的方程为x24+y23=1(x≠-2);
(2)证明:联立x24+y23=1y=kx+m,得(k2+3)x2+2kmx+m2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-2kmk2+3,x1x2=m2-12k2+3,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•m2-12k2+3+km•(-2kmk2+3)+m2
=3m2-12k2k2+3.
设右顶点S(2,0),
则SA=(x1-2,y1),SB=(x2-2,y2),
又以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,
∴SA•SB=0,
即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0.
∴m2-12k2+3-2•(-2kmk2+3)+4+3m2-12k2k2+3=0,
整理得:(m-k)(m+2k)=0,
∴k=m或k=-m2.
当k=m时,直线l为y=mx+m=m(x+1),直线过定点(-1,0);
当k=-m2,直线l为y=-m2x+m=m(-x2+1),直线过定点(2,0),不合题意.
∴直线l过定点(-1,0).
设动圆P半径为R.
∵M在N内,∴动圆只能在N内与N内切,不能是N在动圆内,即:R<3
动圆P与圆M外切,则PM=1+R,
动圆P与圆N内切,则PN=3-R,
∴PM+PN=4,即P到M和P到N的距离之和为定值.
∴P是以M、N为焦点的椭圆.
∵MN的中点为原点,故椭圆中心在原点,
∴2a=4,a=2,2c=MN=2,c=1,
∴b2=a2-c2=4-1=3,
∴C的方程为x24+y23=1(x≠-2);
(2)证明:联立x24+y23=1y=kx+m,得(k2+3)x2+2kmx+m2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-2kmk2+3,x1x2=m2-12k2+3,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•m2-12k2+3+km•(-2kmk2+3)+m2
=3m2-12k2k2+3.
设右顶点S(2,0),
则SA=(x1-2,y1),SB=(x2-2,y2),
又以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,
∴SA•SB=0,
即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0.
∴m2-12k2+3-2•(-2kmk2+3)+4+3m2-12k2k2+3=0,
整理得:(m-k)(m+2k)=0,
∴k=m或k=-m2.
当k=m时,直线l为y=mx+m=m(x+1),直线过定点(-1,0);
当k=-m2,直线l为y=-m2x+m=m(-x2+1),直线过定点(2,0),不合题意.
∴直线l过定点(-1,0).
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