Question

级数条件收敛，绝对收敛的判断，求具体步骤解析，如图第四题

Answer 1

sin((n²+nα+1)π/n)
=
sin(nπ+(α+1/n)π)
=
(-1)^n·sin((α+1/n)π).
当n
→
∞,
有sin((α+1/n)π)
→
sin(απ).
级数收敛的一个必要条件是通项趋于0,
这要求sin(απ)
=
0.
故α不为整数时级数发散,
D不正确.
当α为整数时,
(-1)^n·sin((α+1/n)π)
=
(-1)^n·sin(απ+π/n)
=
(-1)^(n+α)·sin(π/n).
这是一个交错级数,
且当n
>
1,
通项的绝对值sin(π/n)对n单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法,
级数收敛,
A不正确.
当α为整数时,
|sin((n²+nα+1)π/n)|
=
sin(π/n).
lim{n
→
∞}
sin(π/n)/(1/n)
=
π,
即sin(π/n)与1/n是同阶无穷小.
而正项级数∑1/n发散,
根据比较判别法,
∑|sin((n²+nα+1)π/n)|
=
∑sin(π/n)也发散.
因此级数不是绝对收敛的,
B不正确.
收敛而不绝对收敛即条件收敛,
C正确.