Question

设a,b,c>0,证明:a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c

老师说 这道题很简单 没这么复杂吧！~

Answer 1

(c²/a)+(a²/b)+(b²/c)≥a+b+c，且仅当a=b=c时取等号

用费马不等式证明

由费马不等式的一般形式可得 三元形式的费马不等式
(x1²+x2²+x3²)(y1²+y2²+y3²)≥(x1y1+x2y2+x3y3)²
且仅当 x1：y1=x2：y2=x3：y3时取等号

取x1=√a，x2=√b，x3=√c，y1=√(c²/a)，y2=√(a²/b)，y3=√(b²/c)代入

得 (a+b+c)[(c²/a)+(a²/b)+(b²/c)]≥[√(c²)+√(a²)+√(b²)]²
因为 a＞0，b＞0，c＞0
所以 (a+b+c)[(c²/a)+(a²/b)+(b²/c)]≥(c+a+b)²
因为 a+b+c＞0
所以(c²/a)+(a²/b)+(b²/c)≥a+b+c

且仅当√a：√(c²/a)=√b：√(a²/b)=√c：√(b²/c) 时取等号
即√(a²/c²)=√(b²/a²)=√(c²/b²) 时取等号
因为a＞0，b＞0，c＞0
所以 a/c=b/a=c/b时取等号

设 a/c=b/a=c/b=k
则 a=kc，b=ka，c=kb
此三式相加得，a+b+c=k(a+b+c)
因为a+b+c＞0
所以 k=1
即a/c=b/a=c/b=1
所以 仅当a=b=c时取等号

(c²/a)+(a²/b)+(b²/c)≥a+b+c，且仅当a=b=c时取等号