假定H和N是G的子群，且N是G的正规子群，证明H∩N是H的正规子群．
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【答案】：H∩N是H的非空子集，N是G的正规子群．
对任意的x，y∈H∩N，有x，y∈H且x，y∈N，从而有x*y∈H且x*y∈N，于是x*y∈H∩N，又有对任意的x∈H∩N，有x∈H且x∈N，从而有x-1∈H且x-1∈N，于是x-1∈H∩N，因此，H∩N是H的子群．
另有对任意的x∈H∩N，h∈H，有h-1*x*h∈H且h-1*x*h∈N，于是h-1*x*h∈H∩N，所以H∩N是H的正规子群．
对任意的x，y∈H∩N，有x，y∈H且x，y∈N，从而有x*y∈H且x*y∈N，于是x*y∈H∩N，又有对任意的x∈H∩N，有x∈H且x∈N，从而有x-1∈H且x-1∈N，于是x-1∈H∩N，因此，H∩N是H的子群．
另有对任意的x∈H∩N，h∈H，有h-1*x*h∈H且h-1*x*h∈N，于是h-1*x*h∈H∩N，所以H∩N是H的正规子群．
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