Question

已知(a+b)(a²+b²-1)=2且a>0b>0求证a+b≤2

Answer 1

∵a,b＞0,∴a+b＞0.又易知，a²+b²≥2ab.===>(a+b)²≥4ab.===>2ab≤(a+b)²/2.===>1+2ab≤[(a+b)²+2]/2.====>(a+b)²-(1+2ab)≥(a+b)²-[(a+b)²+2]/2=[(a+b)²-2]/2.即有a²+b²-1≥[(a+b)²-2]/2.两边同乘以a+b,再由题设可得2=(a+b)(a²+b²-1)≥(a+b)[(a+b)²-2]/2.===>(a+b)³-2(a+b)-4≤0.左边因式分解得：[(a+b)-2][(a+b)²+2(a+b)+2]=[(a+b)-2][(a+b+1)²+1]≤0.显然应有a+b-2≤0.∴a+b≤2.

Answer 2

证明：

a>0,b>0,

令t=a+b，t>0,

原式可化为：

t(t²-2ab-1)=2,

ab=t²/2-1/2-1/t
≤[(a+b)/2]²=t²/4,

t³-2t-4≤0,

令f(t)=t³-2t-4,则

f'(t)=3t²-2,

易知，0<t<√6/3时，f'(t)<0,f(t)递减，t≥√6/3时，f'(t)≥0,f(t)递增，

f(0)=-4,f(2)=0,

∴f(t)在区间(0,2]上不大于0，

即t∈(0,2]

∴a+b=t≤2，

谢谢！