Question

已知,在△ABC中,∠BAC的平分线AD和BC边上的中垂线GD交于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线F,求证:

已知,在△ABC中,∠BAC的平分线AD和BC边上的中垂线GD交于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线F,求证:(1)BE=CF：（2）AB+AC=2AE

Answer 1

连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG．

解答： 证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中

BE＝CE   EF＝EG

∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG点评：本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

Answer 2

在直角△BDG和CDG中，BD=CD，
在直角△BDE和CDF中，
BD=CD，DE=DF，全等，所以
BE=CF。
直角△AED全等AFD，
AE=AF=AC+CF，
AE=AB-BE，
2AE=AB+AC+CF-BE=AB+AC.