Question

已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x＇3+bx．

若曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点（1，c）具有公切线，求a，b
当a^2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求在（-∞，-1]的最大值

Answer 1

(1) f(x)=ax^2+1
f'(x)=2ax
f'(1)=2a
g(x)=x^3+bx
g'(x)=3x^2+b
g'(1)=3+b
在(1,c)具有公切线
f'(1)=g'(1)
2a=3+b.........(1)
f(1)=g(1)
a+1=1+b
a=b..............(2)
联解(1)(2)：a=b=3
(2) a^2=4b
b=a^2/4
h(x)=f(x)+g(x)
=ax^2+1+x^3+a^2/4x
=x(x^2+ax+a^2/4)
=x(x+a/2)^2
h'(x)=(x+a/2)^2+x*2(x+a/2)
=x^2+ax+a^2/4+2x^2+ax
=3x^2+2ax+a^2/4
单增区间：h'(x)>0
3x^2+2ax+a^2/4>0
3(x+a/3)^2+a^2/4-a^2/3>0
3(x+a/3)^2-a^2/12>0
|x+a/3|>a/6
x+a/3<-a/6
x<-a/2
或者x+a/3>a/6
x>-a/6
即单增区间：x<-a/2或者x>-a/6
单减区间：-a/2<x<-a/6
h(-a/2)=-a/2(-a/2+a/2)^2=0
h(-1)=(-1)(-1+a/2)^2=-(a/2-1)^2<0
h(-1)<h(-a/2)
h(-a/6)=-a/6(-a/6+a/2)^2=-a^3/54<0
h(-a/6)<h(-a/2)
当-a/2<-1<-a/6时，h(x)max=h(-a/2)=0
当-a/6<-1时，h(x)max=h(-a/2)=0
当-a/2>-1时，h(x)max=h(-1)=-(a/2-1)^2