Question

设a.b.c均为正数，a＋b＋c＝1.证明：a²b²＋b²c²＋c²a²≥abc

Answer 1

将左侧的式子乘以2，得到2a²b²＋2b²c²＋2c²a²
=（a²b²+c²a²）+（a²b²+b²c²）+（b²c²+c²a²）
= a²（b²+c²）+b²（a²+c²）+c²（a²+b²）

因a.b.c均为正数，必然有b²+c²≥2bc，也就是（b-c）²≥0，同理a²+c²≥2ac，a²+b²≥2ab，代入这三个式子，得到

a²（b²+c²）+b²（a²+c²）+c²（a²+b²）≥a²×2bc+b²×2ac+c²×2ab=2abc（a+b+c）=2abc

也就是2a²b²＋2b²c²＋2c²a²≥2abc，即a²b²＋b²c²＋c²a²≥abc。

Answer 2

百度系统号你好。