Question

高中数学集合的一道题目

集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x²+2(a+1)x+a²-5=0}
（1）若A∩B=｛2｝，求a的值
（2）若A∪B=A，求a的取值范围
（3）若U=R，A∩（CuB）=A，求实数a的取值范围。

Answer 1

A:(x-2)(x-1)=0 故A=｛1，2}
（1)因为A∩B=｛2｝ 故x=2是B的一个解，代入得：4+4（a+1）+a2-5=0
故 a2+4a+3=0 解得a=-1或a=-3 经检验，两根都符合
（2）因为A∪B=A，当B为空集时，△＜0，解得a＜-3
当B不为空集是，a≥-3，要使A∪B=A，则B只可能为{1}或{2}或{1，2} 由于{1}或{2}表示B只有一个根，故当B为{1}或{2}时，△应该=0，既a=-3，当a=-3时，解得x=2，故a=-3符合条件
如何当B={1，2}时，利用维达公式，知不存在这样的a
综上所述：a≤-3
（3）
要使A∩（CuB）=A，则A∩B必须为空集
当B为空集时符合条件，故a＜-3符合
由（2）知，B的集合不可能有{1，2}这个解，当B的解中包含1时，得a=√3-1，或a=-√3-1
当B的解中包含2这个解时，得x=-1或x=-3
故a的取值范围是a不能等于 -√3-1，a=√3-1，x=-1，x=-3

Answer 2

(1)
A={x|x²-3x+2=0}
={x|(x-1)(x-2)=0}
A={1,2}

ifA∩B=｛2｝，ie 2 ∈ B
B={x|x²+2(a+1)x+a²-5=0}
put x=2
4+4(a+1)+a²-5=0
a²+4a+3=0
(a+1)(a+3)=0
a = -1 or -3 #
(2)
A∪B=A => B is subset of A
when x=2 , a = -1 or -3
or when x=1
1+2(a+1)+a²-5 = 0
a²+2a -2 =0
a = -1+√3 or -1-√3

ie a=-1 or -3 or -1+√3 or -1-√3

Answer 3

(1)A={1,2}.因为A∩B=｛2｝,所以2属于B
将X=2代入x²+2(a+1)x+a²-5=0解得a=-1或a=-3,检验a=-1或a=-3,无误
(2)因为A∪B=A,所以B=空集,B={1},B={2},B={1,2}
当B为空集时,判别式=4(a+1)^2-4(a^2-5)<0,所以a<-3
当B={2}时a=-3,a=-1(舍去)
当B={1}或{1,2}时a不符题意或无解
所以a<=-3
(3)A∩（CuB）=A,所以A∩B=空集
将x=1,x=2代入x²+2(a+1)x+a²-5≠ 0得
a≠ -1+根号3,a≠ -1-根号3,a≠ -1,a≠ -3